Aulas 18-22

Nesta sequência de aulas estivemos revisitando o formalismo matemático da mecânica quântica e estudando alguns resultados novos. Agradecimentos ao prof. Rubens, que me substituiu na aula do dia 28/9.

• Espaço vetorial complexo de funções de quadrado integrável = espaço de Hilbert; propriedades de espaços vetoriais, produto interno.
• Problema 3.2 do Griffiths (polinômios dentro/fora do espaço de Hilbert).
• Conjugado Hermitiano de um operador.
• Observáveis:
• Estados bem-definidos: vimos que ter variância = 0 para um observável é equivalente a ser auto-estado deste observável.
• Exemplo 3.1: auto-estados do operador .
• Mais sobre auto-funções de operadores Hermitianos: começamos a estudar o caso de espectro discreto. Primeiro resultado: auto-valores são reais.
• Autofunções de operadores Hermitianos: ortogonalidade e completeza no caso de espectro discreto.
• O caso de espectro contínuo: ortogonalidade (à la Dirac) e completeza. Estudamos somente os operadores momento e posição, o caso de espectro contínuo geral tem sutilezas, pois nem sempre as integrais que representam os produtos internos convergem…
• Interpretação estatística generalizada: como encontrar a probabilidade de medirmos qualquer valor de observável geral.
• continuando o estudo da interpretação estatística generalizada: como recuperar a interpretação estatística para os operadores e .
• Princípio da Incerteza generalizado: derivação, como recuperamos o princípio de incerteza de Heisenberg para e .
• Definindo a noção de observáveis compatíveis e incompatíveis a partir das relações de comutação.
• Pacote de onda de incerteza mínima: vimos que são as gaussianas, como já tínhamos adiantado quando examinamos e para o estado fundamental do OH.
• Incerteza para energia/tempo: fórmula semelhante à de incerteza para x e p, mas com interpretações diferentes. continua interpretada como o desvio-padrão das medidas de energia . não é o desvio-padrão de medidas de tempo, já que o tempo não é observável; está relacionado ao tempo para uma mudança significativa do sistema. Aqui vocês encontram um artigo de Paul Bush com um levantamento das dificuldades associadas à definição de um princípio de incerteza para tempo e energia.
• 3 exemplos de aplicação do princípio de incerteza para tempo e energia.
• Notação de Dirac: vetores e operadores lineares (a continuar na próxima aula).

Refs. Griffiths, cap. 3. Sugiro o Apêndice A para quem não está sentindo firmeza no seu próprio conhecimento de álgebra linear. A lista de exercícios número 4 já está disponível.